Hoppa till sidans innehåll
Other languagesLanguages Lättläst Teckenspråk Min sida

Kartprojektionens grunder

Här får du lära dig mer om kartprojektionens grunder och olika typer av kartprojektioner.

Avbildning av den buktiga jordytan – eller egentligen jordmodellen, som är en ellipsoid eller sfär – på ett plan, kan inte ske utan formförändring. Med en lämpligt vald projektion kan man däremot hålla formförändringarna inom vissa gränser, inom det geografiska område man arbetar med.

Jordmodellen

För mycket småskaliga kartor, till exempel världskartor, använder man en sfärisk jordmodell, på grund av att det ger enklare beräkningar. Det blir då en avbildning som inte blir lika noggrann som där man använt ellipsoidisk jordmodell. Eftersom felen är ganska små och noggrannheten ändå inte är särskilt hög i världskartor kan felen försummas.

För storskalig kartläggning, till exempel topografiska kartor, används alltid en ellipsoidisk jordmodell, som bättre liknar jordens faktiska form med avplattning vid polerna. Det leder till krångligare formler, där man måste använda serieutvecklingar.

Konstruktion

Metoden för att konstruera kartprojektionen kan delas in i tre huvudtyper vad gäller:

  • Formen på projektionsytan: cylindrisk, konisk eller azimutal.
  • Placeringen av projektionsytan: normal, transversal eller snedaxlig.

Cylindrisk projektion

En cylinder tangerar ekvatorn (man får då en projektion av normal typ; bilden till vänster), eller längs en medelmeridian (projektionen är då av transversal typ; bilden till höger):

Illustration av principen för cylindrisk kartprojektion, normal och transversal typ.

Dessutom förekommer en snedaxlig typ med annan orientering av cylindern.

Konisk projektion

Vid konisk projektion tangeras jordklotet av en kon, oftast längs en parallellcirkel. Projektionen sägs då vara av normal typ:

Illustration av principen för konisk kartprojektion av normal typ.

Azimutal projektion

Vid azimutal kartprojektion tangerar ett plan jordklotet i en punkt. Normal typ, när tangeringspunkten är en av polerna, kallas oftast polär aspekt. Transversal typ, om tangeringspunkten ligger på ekvatorn, kallas oftast ekvatoriell aspekt. Även snedaxlig typ används. Bilden visar polär aspekt:

Illustration av principen för azimutal kartprojektion, polär aspekt.

Perspektivisk avbildning

En perspektivisk projektion kan konstrueras rent geometriskt. Räta linjer, projektionsstrålar, utgår från en punkt, projektionscentrum, genom de punkter på klotytan som avbildas, och förlängs tills de skär projektionsytan i punkternas avbild. Som exempel har vi den gnomoniska projektionen (bild nedan till vänster) som är en azimutal projektion där projektionscentrum är jordklotets medelpunkt, stereografisk projektion (bild nedan i mitten) där projektionscentrum är tangeringspunktens antipod, och ortografisk projektion (bild nedan till höger) där projektionscentrum är placerat på oändligt avstånd, det vill säga att projektionsstrålarna är parallella. Projektionerna visas i nordpolsaspekt.

Illustration av perspektiviska projektioner; gnomonisk projektion till vänster, stereografisk projektion i mitten och ortografisk projektion till höger.

Avbildningsfunktion

De flesta projektioner som vi använder är inte perspektiviska. Avbildningen sker på ett mer komplicerat sätt och kan beskrivas allmänt som en matematisk funktion:

x = fx(j, l)
y = fy(j, l)

där j är geodetisk latitud, l är geodetisk longitud och x, y är plana koordinater i projektionsplanet.

I Sverige och en del andra länder är konventionen att x-axeln i detta sammanhang är riktad mot norr och y-axeln mot öster, med positiv omloppsriktning medsols, alltså omvänt mot skolboksgeometrin, där y-axeln är riktad uppåt och x-axeln åt höger, med positiv omloppsriktning motsols. För att undvika förväxling kallas ibland axlarna 'Northing' respektive 'Easting', vilket vi också har börjat använda i Sverige för de olika projektionerna av SWEREF 99, fortfarande med positiv omloppsriktning medsols.

Viktiga egenskaper

Genom att formulera villkor för avbildningsfunktionen kan man ge projektionen olika egenskaper. De viktigaste egenskaperna är:

Konform

Vinkelriktig, eller formbevarande, projektion innebär att en oändligt liten figur avbildas utan formförändring, och att förstoringen i en punkt är lika stor i alla riktningar. Vinkelriktighet kan inte kombineras med ytriktighet.

Ytriktig

Ytan hos en figur på klotytan avbildas i kartplanet på en figur med lika stor yta. Ytriktighet kan inte kombineras med vinkelriktighet.

Längdriktig

Denna egenskap kan inte gälla allmänt, utan endast längs vissa linjer, till exempel längs medelmeridianen eller en parallellcirkel.

I geodetiska sammanhang används normalt konforma (vinkelriktiga) projektioner, alltid från en ellipsoidisk jordmodell. En egenskap som är av särskilt intresse hos konforma projektioner är meridiankonvergensen.

Tissots indikatris

Den så kallade indikatrisen, eller Tissots indikatris, karaktäriserar egenskaperna för en projektion. Tissots indikatris är den ellips som uppkommer vid projektionens avbildning av en elementarcirkel på klotytan. (En elementarcirkel är en oändligt liten cirkel.)

Vid normala projektioner blir indikatrisens axlar förlagda längs meridianen och parallellen genom den avbildade punkten. Om elementarcirkelns radie väljs lika med ett (1), så blir förstoringarna h och k utefter meridian och parallell, i det normala fallet, lika med halvaxlarnas längder i indikatrisen.

Tissots indikatris.

Ur indikatrisens egenskaper kan olika typer av projektioner identifieras:

  • Om h = k är projektionen konform (vinkelriktig).
  • Om h * k = 1 är projektionen ytriktig.
  • Om h = 1 (k = 1) är projektionen längdriktig utefter meridianen (parallellen).

Indikatrisen ger också information om projektionens vinkelförvridning i punkten. Maximala beloppet w fås ur formeln:

sin (w) = | (k - h) / (k + h) |

Projektionsparametrar

Vid specifikation av en projektion, anges förutom den allmänna typen, till exempel Gauss-Krüger, ett antal parametrar.

Jordellipsoidens parametrar måste alltid anges, men ges ofta indirekt av det geodetiska datum eller referenssystem som används.

De övriga parametrar som brukar förekomma är:

  • Medelmeridian (engelska: central meridian); mittmeridian som normalt avbildas som en vertikal rät linje och utgör symmetriaxel, och det plana systemets naturliga x-axel. Longituden (grader, minuter, sekunder) för medelmeridianen anges, vanligen relativt internationella nollmeridianen i Greenwich.
  • Standardparalleller (engelska: standard parallel); anges för normala projektioner, och är parallellcirklar som avbildas skalenligt. En projektion kan ha en eller två standardparalleller. Latituden för dessa anges.
  • Skalreduktionsfaktor (engelska: scale factor eller scale on central meridian); ett tal, mindre än eller lika med 1, som appliceras på koordinaterna för att omfördela skalfelet i projektionen. Till exempel i UTM används skalreduktionsfaktorn 0,9996.
  • Tangeringspunktens latitud; centrumpunkt för azimutala projektioner. Latituden anges.

Ett antal parametrar används för att mer eller mindre godtyckligt omdefiniera projektionssystemets origo:

  • x0 (engelska: false northing), x-tillägg (även negativa värden, för avdrag)
  • y0 (engelska false easting), y-tillägg (även negativa värden, för avdrag)

De följande används normalt inte i Sverige:

  • Latitud för origo (engelska: latitude of origin); här anges att det plana systemets origo ska förläggas på en viss latitud.
  • Longitud för origo (engelska: longitude of origin); här anges att det plana systemets origo ska förläggas på en viss longitud. Är normalt detsamma som medelmeridianens longitud.

Interaktiva tjänster